الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالمتقدمة،وتلعبدورًاحيويًافيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.

1.تعريفالعددالمركب

العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:[z=a+bi]حيث:-aهوالجزءالحقيقيمنالعدد(RealPart).-bهوالجزءالتخيليمنالعدد(ImaginaryPart).-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالعلاقة(i^2=-1).

2.التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يسمىمستوىالأعدادالمركبةأومستوىأرجاند)،حيث:-المحورالأفقي(x)يمثلالجزءالحقيقي.-المحورالرأسي(y)يمثلالجزءالتخيلي.

3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

أ)الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i][(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]

ب)الضرب

يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):[(a+bi)\cdot(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]

ج)القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)للتخلصمنالجزءالتخيليفيالمقام:[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

4.مرافقالعددالمركب(ComplexConjugate)

مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هو:[\overline{ z}=a-bi]ويمتلكالخصائصالتالية:-مجموعالعددومرافقههو(2a)(عددحقيقي).-حاصلضربالعددومرافقههو(a^2+b^2)(عددحقيقيموجب).

5.معيارالعددالمركب(Modulus)

معيارالعددالمركب(z=a+bi)هوالمسافةبينالنقطة((a,شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضياتb))ونقطةالأصلفيالمستوىالمركب،ويُحسببالعلاقة:[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]

6.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالمتناوبة(ACCircuits).-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات.-الرسوماتالحاسوبية:تمثيلالحركاتالدورانية.

7.خاتمة

الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمأدواترياضيةقويةلحلمسائلمعقدة.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وكيفيةتطبيقالعملياتالأساسيةعليها.

باستيعابهذهالمفاهيم،يصبحالطالبقادرًاعلىالتعاملمعالأعدادالمركبةبثقةواستخدامهافيحلالتمارينوالتطبيقاتالعملية.